Question

在二项式(

3	x2

+3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，试求
（1）n的值．
（2）求该二项式展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）展开式中各项系数和为4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ则4ⁿ-2ⁿ=992，解出即可；
（2）方法一、设系数最大项为T_r+1，则T_r-1的系数为

C

r-1 5

3r-1，T_r+1的系数为

C

r 5

3r，T_r+2的系数为

C

r+1 5

3r+1，列出不等式，解出整数解即可；
方法二、运用二项式定理将二项式展开，比较即得．

解答： 解：（1）展开式中各项系数和为4ⁿ；二项式系数和为2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32或-31（舍去），∴n=5．
（2）设系数最大项为T_r+1，则T_r-1的系数为

C

r-1 5

3r-1
T_r+1的系数为

C

r 5

3r，T_r+2的系数为

C

r+1 5

3r+1，
由

C

r-1 5

3r-1≤

C

r 5

3r≤

C

r+1 5

3r+1，解得

7

2

≤r≤

9

2

，
又∵r∈N⁺，∴r=4
∴系数最大项为T5=405x

26

3

．
方法二：∵(

3	x2

+3x2)5=x

10

3

+15x

14

3

+90x6+270x

22

3

+405x

26

3

+243x¹⁰
∴系数最大项为T5=405x

26

3

．

点评：本题考查二项式系数的性质，与各项的系数的关系，考查二项式展开式中的最大项的求法，属于中档题．