题目内容
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，半长轴长的平方与半焦距相等，过椭圆的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点，设M为A、B的中点，且直线L与直线OM的夹角余弦值为
，求椭圆的方程．
| ||
| 5 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：作出图象，设椭圆的方程为
+
=1，与直线方程联立，解出点M的坐标，从而由三角恒等变换可求出直线OM的斜率，从而得到方程组，解方程组即可．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：
解：如图，由题意，设椭圆的方程为
+
=1；
则由cos∠BMO=
可得，
tan∠BMO=2，
则tan∠MOF1=
=
，
设直线l的方程为y=x+c，
与椭圆方程
+
=1联立可得，
（a2+b2）x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，
则由韦达定理可得，
x1+x2=-2
，y1+y2=2
；
则M（-
，
），
则由题意可得，
：
=
，
又∵c=a2，a2=b2+c2，
解得，c=
，a2=
，b2=
；
故椭圆的方程为
+
=1．
解：如图，由题意，设椭圆的方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则由cos∠BMO=
| ||
| 5 |
tan∠BMO=2，
则tan∠MOF1=
| tan∠BMO-tan45° |
| 1+tan∠BMO•tan45° |
| 1 |
| 3 |
设直线l的方程为y=x+c，
与椭圆方程
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（a2+b2）x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，
则由韦达定理可得，
x1+x2=-2
| a2c |
| a2+b2 |
| b2c |
| a2+b2 |
则M（-
| a2c |
| a2+b2 |
| b2c |
| a2+b2 |
则由题意可得，
| b2c |
| a2+b2 |
| a2c |
| a2+b2 |
| 1 |
| 3 |
又∵c=a2，a2=b2+c2，
解得，c=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
故椭圆的方程为
| 3x2 |
| 2 |
| 9y2 |
| 2 |
点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系，同时考查了三角恒等变换，属于难题．
练习册系列答案
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