Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n=2^a_n（n∈N^*），数列{b_n}是等比数列，且b₁+b₅=68，a₂+a₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}是递增数列，设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由等差数列和等比数列的性质结合已知得到b₁，b₅的值，进一步得到a₁，a₅的值，然后求出等差数列的公差，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由数列{b_n}是递增数列得到其通项公式，然后分别利用等差数列和等比数列的前n项和求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂+a₄=8，
∴b2b4=2a2•2a4=2a2+a4=256．
又数列{b_n}是等比数列，
∴b₁b₅=b₂b₄=256．
又已知b₁+b₅=68，
故b₁，b₅是一元二次方程x²-68x+256=0的两根．
则

b1=4 b5=64

或

b1=64 b5=4.

易知数列{a_n}是等差数列，
当

b1=4 b5=64

时，

a1=2 a5=6

，
则数列{a_n}的公差d=

a5-a1

4

=1．
故a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1；
当

b1=64 b5=4.

时，

a1=6 a5=2

，
则数列{a_n}的公差d=

a5-a1

4

=-1．
故a_n=a₁+（n-1）d=6+（n-1）×（-1）=7-n．
综上，数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1或a_n=7-n；
（Ⅱ）若数列{b_n}是递增数列，由（Ⅰ）得a_n=n+1，bn=2n+1．
∴cn=an+bn=(n+1)+2n+1．
∴S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
=

n(2+n+1)

2

+

22(1-2n)

1-2

=

n(n+3)

2

+2n+2-4．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．