Question

（1）在z轴上求与点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点的坐标．
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．

Answer 1

考点：空间两点间的距离公式,空间中的点的坐标

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．
（2）根据点在坐标面yOz内，设出点的坐标（0，y，z），根据点到A、B、C的距离相等，写出关于y、z的方程，解方程即可得到点的坐标．

解答： 解：（1）由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴

16+1+(7-z)2

=

9+25+(z+2)2

，
∴18z=28，
∴z=

14

9

，
∴C点的坐标是（0，0，

14

9

）．
（2）解：设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，
则有|AP|²=9+（1-y）²+（2-z）²，
|BP|²=16+（2+y）²+（2+z）²，
|CP|²=（5-y）²+（1-z）²，
由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，
得

9+(1-y)2+(2-z)2=16+(2+y)2+(2+z)2 9+(1-y)2+(2-z)2=(5-y)2+(1-z)2

化简可得

3y+4z+5=0 4y-z-6=0

解得

y=1 z=-2

∴点P（0，1，-2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．

点评：本题考查两点之间的距离公式，应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个中档题．