Question

已知函数f（x）=x+

25

x

-（a²+b²）（a∈R，b∈R）．
（Ⅰ）现将一枚质地均匀的正四面体骰子（各面分别写着1，2，3，4一个数字）抛掷两次，所得向下的一面上的数字分别为a和b的值，求函数f（x）在（0，+∞）内有两个零点的概率；
（Ⅱ）若a，b都是从区间[0，4]上随机取的一个实数，求函数f（x）在（0，+∞）内存在零点的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）在（0，+∞）内有两个零点的等价条件，利用古典概型的概率公式即可得到结论；
（Ⅱ）根据几何概型分别求出对应事件的面积，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）现将一枚质地均匀的正四面体骰子（各面分别写着1，2，3，4一个数字）抛掷两次，所得向下的一面上的数字分别为a和b的值，
共有6×6=36个结果，
若函数f（x）在（0，+∞）内有两个零点，
即f（x）=x+

25

x

-（a²+b²）=0，有两个根，
则x+

25

x

=a²+b²，即函数y=x+

25

x

，与y=a²+b²，有两个交点，
当x＞0时，y=x+

25

x

≥2

x• 25 x

=10，当且仅当x=5时取等号，
则a²+b²＞10，
当a=1时，b²＞9，此时b=4，5，6，
当a=2时，b²＞6，此时b=3，4，5，6，
当a=3时，b²＞1，此时b=2，3，4，5，6，
当a=4时，b²＞-6，此时b=1，2，3，4，5，6，
当a=5时，此时b=1，2，3，4，5，6，
当a=6时，此时b=1，2，3，4，5，6，共有30种，
则函数f（x）在（0，+∞）内有两个零点的概率P=

30

36

=

5

6

；
（Ⅱ）若a，b都是从区间[0，4]上随机取的一个实数，则

0≤a≤4 0≤b≤4

，对应的区域为边长为4的正方形，面积S=4×4=16，
由（Ⅰ）知函数f（x）在（0，+∞）内存在零点，则等价为a²+b²≥10，对应的区域在半径为

10

的圆外部分，如图阴影部分；
则阴影部分的面积S_阴影=16-

1

4

×π×(

10

)2=16-

5π

2

，
则函数f（x）在（0，+∞）内存在零点的概率P=

S阴影

S正方形

=

16- 5π 2

16

=1-

5π

32

．

点评：本题主要考查古典概型和几何概型的概率计算，以及函数零点存在的应用，要求熟练掌握相应的概率公式．综合性较强．