Question

已知函数f（x）=cosx+sinx，g（x）=

2

cos（x+

π

4

）（x∈R）．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）=2g（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数F（x）的解析式进行化简整理，利用三角函数的图象和性质，求得函数的最小正周期和单调增区间．
（Ⅱ）利用同角三角函数关系对原式进行化简，整理出关于tanx的形式，进而利用f（x）=2g（x）求得tanx的值代入．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=

2

cos（x+

π

4

）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²，
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx，
=cos2x+sin2x+1，
=

2

sin（2x+

x

4

）+1，
∴函数F（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
当2kπ-

π

2

≤2x+

x

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）时，F（x）单调增，
∴函数F（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

x，kπ+

π

8

]（k∈Z），
（Ⅱ）由题意，cosx+sinx=2（cosx-sinx），
得：tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．对三角函数化简时一般是直接应用公式进行降次、消项，切割化弦，异名化同名，异角化同角等．