Question

如图，点P（0，

A

2

）是函数y=Asin（

2π

3

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，π]）的图象与y轴的交点，点Q、R是它与x轴的两个交点．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数经过点P（0，

A

2

），可求得sinφ=

1

2

，φ∈[0，π），且点P在递增区间上可求得φ=

π

6

；
（Ⅱ）由（I）可知y=Asin(

2π

3

x+

π

6

)，令y=0可求得x=-

1

4

或x=

5

4

，从而可得P、Q、R的坐标，利用PQ⊥PR，得

PQ

•

PR

=-

5

16

+

1

4

A2=0，从而可求得A．

解答： 解：（I）∵函数经过点P（0，

A

2

），
∴Asinφ=

A

2

，
∴sinφ=

1

2

，…（3分）
又∵φ∈[0，π），且点P在递增区间上，
∴φ=

π

6

，…（7分）
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

3

x+

π

6

)，
令y=0，得sin(

2π

3

x+

π

6

)=0
∴

2π

3

x+

π

6

=0，∴x=-

1

4

或x=

5

4

，∴Q(-

1

4

，0)，R(

5

4

，0)…（11分）
又∵P(0，

A

2

)，∴

PQ

=(-

1

4

，-

A

2

)，

PR

=(

5

4

，-

A

2

)，
∵PQ⊥PR，∴

PQ

•

PR

=-

5

16

+

1

4

A2=0，
解得：A=

5

2

…（14分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查向量的坐标运算，求得P、Q、R的坐标是关键，着重考查向量的数量积的应用，属于中档题．