Question

如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA=45°，
（1）求证：MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD．
（2）探究矩形ABCD满足什么条件时，有PC⊥BD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形的中位线得到线线平行，进一步得到线面平行，利用线线垂直进一步转化成线面垂直．
（2）利用线面垂直转化线线垂直，最后确定矩形是正方形．

解答： （1）证明：如图，取PD的中点E，连接AE，NE．
E、N分别为PD，PC的中点，
所以：EN∥CD，EN=

1

2

CD，
又M为AB的中点，
所以：AM=

1

2

CD，AM∥CD，
EN∥AM，EN=AM，
所以：四边形AMNE为平行四边形．
MN∥AE，
所以：MN∥平面PAD，
PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，
所以：△PAD是等腰直角三角形，
所以：AE⊥PD．
又CD⊥AD，CD⊥PA，AD交PA于A，
所以：CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
所以：CD⊥AE，
又CD交PD于D，
所以：AE⊥平面PCD，
则：MN⊥平面PCD，
（2）若 PC⊥BD，又PA⊥BD，PA交PC于P，
所以：BD⊥平面PAC，
所以：BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．
此时矩形为正方形．
即当矩形ABCD为正方形时，满足PC⊥BD．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，属于基础题型．