Question

9．（1）求定积分${∫}_{-2}^{1}$|x²-2|dx的值；
（2）若复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$为纯虚数，求|z₁|

Answer 1

分析 （1）对x分类讨论，利用微积分基本定理即可得出．
（2）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）${∫}_{-2}^{1}$|x²-2|dx=${∫}_{-2}^{-\sqrt{2}}（{x}^{2}-2）dx$+${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$（2-x²）dx=$（\frac{{x}^{3}}{3}-2x）{|}_{-2}^{-\sqrt{2}}$+$（2x-\frac{{x}^{3}}{3}）{|}_{-\sqrt{2}}^{1}$=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$+$\frac{1}{3}$．
（2）∵$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$=$\frac{（a+2i）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}$=$\frac{3a-8}{25}$+$\frac{（4a+6）}{25}$i为纯虚数，
∴$\frac{3a-8}{25}$=0，$\frac{（4a+6）}{25}$≠0，
解得a=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了微积分基本定理、复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．