Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的部分图象如图所示．
（Ⅰ）  求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）  若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{4}{5}$，求sin（$\frac{5π}{6}$-α）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ） 若f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，再利用诱导公式求得sin（$\frac{5π}{6}$-α）的值．

解答 解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的部分图象，可得A=1，
∵f（x）的最小正周期为4•（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$），故ω=2．
根据五点法作图，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，故函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ） 若f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，则sin（$\frac{5π}{6}$-α）=sin[π-（α+$\frac{π}{6}$）]=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．