题目内容
14．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）．（1）证明f（x）为增函数
（2）若f（3x）＞f（x+1），求x的取值范围．
分析 （1）根据函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上是增函数即可；
（2）根据函数f（x）的单调性求出关于x的不等式组，解出即可．
解答 （1）证明：设x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，得
f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
∵x1＞1，x2＞1
∴x1x2＞1，得$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$∈（0，1），1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
又∵x1＜x2，得x1-x2＜0
∴（x1-x2）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）＜0，可得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
综上所述，可得：函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（3x）＞f（x+1），
由f（x）在（1，+∞）递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{3x＞1}\\{x+1＞1}\\{3x＞x+1}\end{array}\right.$，解得：x＞$\frac{1}{2}$．
点评 本题给出函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，要求我们用单调性的定义证明函数在（1，+∞）上是增函数．着重考查了用定义证明函数的单调性的一般方法，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 2 | D． | 1 |