Question

16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b²=ac，cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（2）设$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求三边a、b、c的长度．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系，可得sinB，再由正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由切化弦和两角和的正弦公式，化简即可得到所求值；
（2）由向量的数量积的定义可得ac=2，再由余弦定理可得a+c=3，即可得到所求三边的长度．

解答 解：（1）由cosB=$\frac{3}{4}$可得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵b²=ac，∴根据正弦定理可得sin²B=sinAsinC．
又∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=π，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$
=$\frac{cosAsinC+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{si{n}^{2}B}$
=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
（2）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$得：|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=cacosB=$\frac{3}{2}$，
又∵cosB=$\frac{3}{4}$，∴b²=ca=2，
又由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=2．
得（a+c）²-2ac-$\frac{3}{2}$ac=2，
解得a+c=3，
又∵b²=ca=2，∴b=$\sqrt{2}$．
∴三边a，b，c的长度分别为1，$\sqrt{2}$，2或2，$\sqrt{2}$，1．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．