Question

8．已知函数y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函数的最小正周期
（2）当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得函数的最小正周期．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，函数的值域．

解答 解：（1）∵函数y=sin²x+sin2x+3cos²x=1+sin2x+2cos²x-1+1=2+sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2∈[1，$\sqrt{2}$+2]，
即函数的值域为[1，$\sqrt{2}$+2]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．