题目内容
已知实数x，y满足x2+y2=9，求
及2x+y的取值范围．
| y+1 |
| x+3 |
考点：直线与圆的位置关系,简单线性规划
专题：直线与圆
分析：设k=
和z=2x+y，利用k，z的几何意义，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．
| y+1 |
| x+3 |
解答：
解：设k=
，则k的几何意义是圆上点到定点（-3，-1）的斜率，
∴y+1=k（x+3），即kx-y+3k-1=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=
=3，
即（3k-1）2=9（1+k2），
∴-6k=8，解得k=-
，
由图象可知k≥-
，
设z=2x+y，
则直线方程为2x+y-z=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=
=
=3，
即|z|=3
，
∴z=±3
，
∴-3
≤z≤3
，
即2x+y的取值范围是[-3
，3
]．
| y+1 |
| x+3 |
∴y+1=k（x+3），即kx-y+3k-1=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=
| |3k-1| | ||
|
即（3k-1）2=9（1+k2），
∴-6k=8，解得k=-
| 4 |
| 3 |
由图象可知k≥-
| 4 |
| 3 |
设z=2x+y，
则直线方程为2x+y-z=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=
| |z| | ||
|
| |z| | ||
|
即|z|=3
| 5 |
∴z=±3
| 5 |
∴-3
| 5 |
| 5 |
即2x+y的取值范围是[-3
| 5 |
| 5 |
点评：本题主要考查不等式的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．
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