Question

已知函数f（x）=

ex- 1 2 x2+mx，x∈(-∞，0] lnx，x∈(0，+∞)

，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=

1

e

x+n，求m，n的值；
（Ⅱ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：探究型,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）在x＜0时的导数，从而得到在x=-1处的切线斜率，并求出切点，根据切点在切线上，得到一方程，及切线斜率为e^-1，得到另一个方程，求出m，n；
（Ⅱ）首先化简a=-2时的函数h（x），根据函数h（x）在（0，+∞）内是增函数等价为h'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，通过分离参数，求出

1

x

+2x（x＞0）的最小值2

2

，令b不大于2

2

；
（Ⅲ）假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，设出P，Q的坐标，求出中点R的横坐标，分别求出C₁在点M处的切线斜率k₁与C₂在点N处的切线斜率k₂，令k₁=k₂，两边同时乘以x₂-x₁，整理得到∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，构造函数r（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），应用导数说明r（t）在t＞1上单调递增，从而r（t）＞r（1），即lnt＞

2(t-1)

t+1

，显然矛盾，故假设不成立，即不存在．

解答： 解：（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=e^x-

1

2

x²+mx，导数f'（x）=e^x-x+m，
∴f'（-1）=e^-1+1+m，
即函数f（x）的图象在x=-1处的切线斜率为e^-1+1+m，
切点为（-1，e^-1-

1

2

-m），
∵函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=

1

e

x+n，
∴e^-1+1+m=

1

e

，-

1

e

+n=e^-1-

1

2

-m，
∴m=-1，n=

2

e

+

1

2

；
（Ⅱ）a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）的解析式是h（x）=lnx+x²-bx，
导数h'（x）=

1

x

+2x-b，
∵函数h（x）在（0，+∞）内是增函数，
∴h'（x）≥0即

1

x

+2x-b≥0在（0，+∞）内恒成立，
∴b≤（

1

x

+2x）_min，
∵x＞0时，

1

x

+2x≥2

1 x •2x

=2

2

，
∴b≤2

2

，
故b的取值范围是（-∞，2

2

]；
（Ⅲ）假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，
则由题意得点M、N的横坐标与中点R的横坐标相等，
且为x₀=

x1+x2

2

，
∵x＞0时，f'（x）=

1

x

，g'（x）=ax+b，
∴C₁在点M处的切线斜率为k₁=

1

x0

=

2

x1+x2

，
C₂在点N处的切线斜率为k₂=ax₀+b=

a(x1+x2)

2

+b，
由于两切线平行，则k₁=k₂，
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，则两边同乘以（x₂-x₁），得

2(x2-x1)

x2+x1

=

a

2

(x22-x12)+b(x2-x1)
=（

a

2

x₂²+bx₂）-（

a

2

x₁²+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁，
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

t+1

，t＞1①，
令r（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
则r'（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
∵t＞1，r'（t）＞0，
∴r（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴r（t）＞r（1）=0，
∴lnt＞

2(t-1)

t+1

，
这与①矛盾，假设不成立，
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：解决切线问题，判断单调性及应用．考查探究性问题，构造函数通过求导应用单调性解决，考查灵活将式子变形的能力，有一定的难度．