Question

9．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞a＞0}）$的左焦点关于C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F（-c，0），求出渐近线方程，设F关于y=$\frac{b}{a}$x的对称点为（m，-$\frac{b}{a}$m），由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞a＞0}）$的左焦点为F（-c，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设F关于y=$\frac{b}{a}$x的对称点为（m，-$\frac{b}{a}$m），
由题意可得$\frac{\frac{bm}{a}}{-c-m}$=-$\frac{a}{b}$，（*）
且$\frac{1}{2}$（0-$\frac{b}{a}$m）=$\frac{1}{2}$•$\frac{b}{a}$（m-c），
可得m=$\frac{1}{2}$c，代入（*）可得b²=3a²，
c²=a²+b²=4a²，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．