Question

4．从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．
（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；
（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．

Answer 1

分析 （1）利用游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，可将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；
（2）利用函数的单调性，即可求出函数的最小值．

解答 解：（1）设游轮以每小时vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，
∵游轮的燃料费用每小时k•v³元，依题意k•10³=60，则k=0.06，
∴S=f（v）=$0.06{v}^{3}×\frac{100}{v}$+3240×$\frac{100}{v}$=6v²+$\frac{324000}{v}$（0＜v≤50）；
（2）f′（v）=$\frac{12（{v}^{3}-27000）}{{v}^{2}}$，
f′（v）=0得，v=30，
当0＜v＜30时，f′（v）＜0，此时f（v）单调递减；
当30＜v＜50时，f′（v）＞0，此时f（v）单调递增；
故当v=30时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）=16200，
所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30km/h．

点评 本题是一道实际应用题，考查了正比例函数，建模思想，求函数的导数，利用导数求函数的最值，解决实际问题的能力．