Question

已知函数f（x）=|x-1|+|2-x|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2
（Ⅱ）若f（x）≥|a-1|恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）对x分段去绝对值求解不等式f（x）＞2，取并集得答案；
（Ⅱ）由绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，然后求解关于a的绝对值的不等式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）＞2，得|x-1|+|2-x|＞2，
当x＜1时，化为-x+1+2-x＞2，即x＜

1

2

；
当1≤x≤2时，化为x-1+2-x＞2，此式显然不成立；
当x＞2时，化为x-1-2+x＞2，即x＞

5

2

．
∴不等式f（x）＞2的解集为(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)；
（Ⅱ）f（x）≥|a-1|恒成立，即
|x-1|+|2-x|≥|a-1|恒成立，
由绝对值的几何意义得|x-1|+|2-x|≥2，
∴|a-1|≤2，解得-1≤a≤3．
∴使f（x）≥|a-1|恒成立的实数a的范围是[-1，3]．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值的几何意义，体现了数学转化思想方法，是中档题．