题目内容
若不等式-1≤sin2x+4cosx+a2≤13对一切实数x均成立，则实数a的取值范围是 ．
考点：三角函数的最值
专题：三角函数的图像与性质
分析：首先，根据题意，换元法得到关于t的二次函数，然后利用函数的单调性求解函数y=-t2+4t+1+a2的最大值和最小值，然后，根据不等式-1≤sin2x+4cosx+a2≤13对一切实数x均成立，等价于
，求解实数a的取值范围．
|
解答：
解：设函数y=sin2x+4cosx+a2，
=1-cos2x+4cosx+a2
=-cos2x+4cosx+1+a2
令cosx=t，则t∈[-1，1]，
∴y=-t2+4t+1+a2
=-（t+2）2+a2
在区间[-1，1]上为减函数，
∴当t=-1时，函数y取得最大值a2-4，
当t=1时，函数y取得最小值4+a2，
∵不等式-1≤sin2x+4cosx+a2≤13对一切实数x均成立，
∴
，
∴-
≤a≤
，
故答案为：[-
，
]．
=1-cos2x+4cosx+a2
=-cos2x+4cosx+1+a2
令cosx=t，则t∈[-1，1]，
∴y=-t2+4t+1+a2
=-（t+2）2+a2
在区间[-1，1]上为减函数，
∴当t=-1时，函数y取得最大值a2-4，
当t=1时，函数y取得最小值4+a2，
∵不等式-1≤sin2x+4cosx+a2≤13对一切实数x均成立，
∴
|
∴-
| 17 |
| 17 |
故答案为：[-
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点评：本题重点考查了不等式的恒成立问题，函数的最值等知识，属于中档题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
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