Question

5．研究函数$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}$的性质，并作出其图象．

Answer 1

分析 根据已知中函数$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}$的解析式，画出函数的图象，数形结合，可得函数的定义域，奇偶性，单调性等性质．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为{x/x∈R，x≠±2}…（1分）
（2）函数的奇偶性：∵$f（-x）=\frac{{{{（{-x}）}^2}+3}}{{{{（{-x}）}^2}-4}}=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}=f（x）$
∴f（x）是偶函数…（3分）
（3）∵$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}=1+\frac{7}{{{x^2}-4}}≠1$，当x∈[0，2）时，$f（x）≤-\frac{3}{4}$且递减；
当x∈（2，+∞）时，f（x）＞1，递减且以直线x=2，y=1为渐近线；
又f（x）是偶函数
∴f（x）当x∈（-2，0]时，$f（x）≤-\frac{3}{4}$且递增；
当x∈（-∞，-2）时，f（x）＞1，递增且以直线x=-2，y=1为渐近线；…（8分）
（4）函数f（x）的图象如图所示．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的性质，本题中的函数即为所谓的“囧函数”，要求学生掌握．