Question

14．有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为4π，已知球的半径R=3，则此圆锥的体积为$\frac{{4（{3-\sqrt{5}}）π}}{3}$或$\frac{{4（{3+\sqrt{5}}）π}}{3}$．

Answer 1

分析 求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．

解答 解：由πr²=4π得圆锥底面半径为r=2，如图设OO₁=x，
则$x=\sqrt{{R^2}-{r^2}}=\sqrt{{3^2}-{2^2}}=\sqrt{5}$，圆锥的高$h=R+x=3+\sqrt{5}$或$h=R-x=3-\sqrt{5}$
所以，圆锥的体积为$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×4π×（3+\sqrt{5}）=\frac{{4（{3+\sqrt{5}}）π}}{3}$
或$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×4π×（3-\sqrt{5}）=\frac{{4（{3-\sqrt{5}}）π}}{3}$．
故答案为$\frac{{4（{3-\sqrt{5}}）π}}{3}$或$\frac{{4（{3+\sqrt{5}}）π}}{3}$．

点评 本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的高是关键．