Question

16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，直线l的方程为x-y-1=0．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的直角坐标方程，可得参数方程；
（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：$d=\frac{|1+cosθ-（2+sinθ）-1|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）-2|}}{{\sqrt{2}}}$=$|sin（\frac{π}{4}-θ）-\sqrt{2}|$，由此得出结论．

解答 解：（1）由ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0及$x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=\sqrt{{x^2}+{y^2}}$得：x²+y²-2x-4y+4=0，即（x-1）²+（y-2）²=1，
所以曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$；
（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：$d=\frac{|1+cosθ-（2+sinθ）-1|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）-2|}}{{\sqrt{2}}}$=$|sin（\frac{π}{4}-θ）-\sqrt{2}|$
所以当$sin（\frac{π}{4}-θ）=-1$时，点${d_{max}}=1+\sqrt{2}$，
此时$\frac{π}{4}-θ=-\frac{π}{2}+2kπ$，即$θ=\frac{3π}{4}-2kπ$，k∈z．
所以$1+cosθ=1+cos（\frac{3π}{4}-2kπ）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$2+sinθ=2+sin（\frac{3π}{4}-2kπ）=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
所以点P坐标为$（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，点P到直线l的距离最大值为$1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程的运用，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，属于中档题．