Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，M为A₁B₁的中点，N是AC₁与A₁C的交点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明线面平行，只需证明MN平行于平面BCC₁B₁内的一条直线，利用三角形的中位线可证；
（Ⅱ）由B₁C⊥BC₁．则AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥AB，则B₁C⊥平面ABC₁，则MN∥B₁C，即可证明MN⊥平面ABC₁．

解答 解：（Ⅰ）证明：连结B₁C，由M，N分别为A₁B₁，A₁C的中点，
∴MN∥B₁C，
由MN?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁，
（Ⅱ）证明：∵在直三棱柱中BC=BB₁，
∴侧面BCC₁B₁为正方形，则B₁C⊥BC₁．
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．
∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥AB，
∵AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵MN∥B₁C，
∴MN⊥平面ABC₁．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．