Question

9．在△ABC中，|BC|是|AB|、|AC|的等差中项，且B（-1，0），C（1，0）．
（1）求顶点A的轨迹G的方程；
（2）若G上存在两点关于直线l：y=2x+m对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求顶点A的轨迹G的方程；
（2）由题意设关于直线y=2x+m对称的点为A，B，则AB的方程为y=-$\frac{1}{2}x$+n，联立椭圆方程与直线方程，由判别式大于0求得n的范围，利用根与系数的关系求出AB的中点C的坐标，再分别代入两条直线方程，得到n与m的关系，再由n的范围求得m的范围．

解答 解：（1）由题意，|AB|+|AC|=2|BC|=4＞|BC|，
∴顶点A的轨迹G是以B，C为焦点的椭圆（除去A，B，C共线），且a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴顶点A的轨迹G的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2）；
（2）解：设关于直线y=2x+m对称的点为A，B，则AB的方程为y=-$\frac{1}{2}x$+n，
与椭圆方程联立，消去y整理得：4x²-4nx+4n²-12=0．
即x²-nx+（n²-3）=0．
由△=n²-4n²+12＞0，得-2＜n＜2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=n，x₁x₂=n²-3，
再设AB的中点为C（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{n}{2}$，
又C在y=-$\frac{1}{2}x$+n上，得y₀=$\frac{3}{4}$n，
C在y=2x+m上，得$\frac{3}{4}$n=2×$\frac{n}{2}$+m，即n=-4m．
则-2＜-2m＜2，得-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了存在性问题的求解方法，训练了点关于线的对称点的求法，是中档题．