Question

袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同）从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为

1

6

，
（1）求得分至少有2分的概率
（2）设所得分数为X，求E（X）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）设袋中黑球的个数为x个，由已知得

x(x-1) 2

(x+5)(x+4) 2

=

1

6

，从而求出袋中有4个黑球．由此利用对立事件的概率公式能求出得分至少有2分的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．

解答： 解：（1）设袋中黑球的个数为x个．
从袋中任取2个球，共有C_x+5²=

(x+5)(x+4)

2

种不同的取法
取道两只黑球的情况有C_x²=

x(x-1)

2

种不同的取法
而当取到的两球均为黑球时，得分为0分，
∴得0分的概率为

x(x-1) 2

(x+5)(x+4) 2

=

1

6

，
解得x=4，即袋中有4个黑球．
∴得分至少有2分的概率P=1-

C 2 4

C 2 9

-

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=1-

1

6

-

1

3

=

1

2

．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（X=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 9

+

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

11

36

，
P（X=3）=

C 1 3 C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P（X=4）=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

，
∴E（X）=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．