Question

已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

2

，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）对函数解析式进行化简，求得关于正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质求得最小正周期T．
（Ⅱ）根据x的范围，求得2x-

π

4

的范围，利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-cos²x+1
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

+1
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

4

．
∴-1≤sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴

- 2 +1

2

≤

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

≤1，
即

- 2 +1

2

≤f（x）≤1；
当2x-

π

4

=-

π

2

时，即x=-

π

8

时，函数f（x）取到最小值

- 2 +1

2

，
当2x-

π

4

=-

5π

4

，即x=-

π

2

时，函数f（x）取到最大值1．

点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数的恒等变换的运用．注意对三角函数图象，性质，以及倍角公式等公式的熟练掌握．