Question

已知F₁F₂是椭圆

x2

9

+

y2

5

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A是椭圆上一点，△AF₁F₂的周长为10，椭圆的离心率为

2

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若弦AB过右焦点F₂交椭圆于B，且△F₁AB的面积为5，求弦AB的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用△AF₁F₂的周长为10，椭圆的离心率为

2

3

，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）法㈠分类讨论，设直线方程与椭圆方程联立，求出面积，利用△F₁AB的面积为5，即可求弦AB的直线方程；法㈡：设直线AB方程为x=ty+2与椭圆方程联立，求出面积，利用△F₁AB的面积为5，即可求弦AB的直线方程．

解答： 解：（1）由题意知：

2a+2c=10 e= c a = 2 3

，
解得a=3，c=2，∴b=

5

．
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

5

=1…（5分）
（2）法㈠当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=2

x2 9 + y2 5 =1 x=2

联立解得：A(2，

5

3

)，B(2，-

5

3

)，
∴|AB|=

10

3

，
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|AB|=

1

2

•4•

10

3

=

20

3

不合题意，舍去．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-2），

x2 9 + y2 5 =1 y=k(x-2)

，联立（9k²+5）y²+20ky-25k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得：y1+y2=-

20k

9k2+5

，y1•y2=

-25k2

9k2+5

．…（8分）S△F1AB=S△F1F2A+S△F1F2B=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

2c•|y1-y2|=5
∴|y1-y2|=

5

2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

5

2

=

400k2 (9k2+5)2 -4• -25k2 9k2+5

=10

k2 (9k2+5)2 + k2•(9k2+5) (9k2+5)2

，
∴63k⁴+54k²-25=0，∴k²=

1

3

，k²=-

25

21

（舍去），∴k=±

3

3

，
∴弦AB所在的直线方程x-

3

y-2=0或x+

3

y-2=0．…（12分）
法㈡：设直线AB方程为x=ty+2（t∈R），
直线方程和椭圆方程联立

x2 9 + y2 5 =1 x=ty+2

，
消去x，（9+5t²）y²+20ty-25=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得：y1+y2=

-20t

9+5t2

，y1•y2=

-25

9+5t2

．…（7分）S△F1AB=S△F1F2A+S△F1F2B=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

2c•|y1-y2|=5．
∴|y1-y2|=

5

2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

400t2 (9+5t2)2 -4 -25 9+5t2

=

400t2 (9+5t2)2 + 100(9+5t2) (9+5t2)2

=30

1+t2

9+5t2

两边平方：25t⁴-54t²-63=0，
∴（25t²+21t²）（t²-3）=0，∴t=±

3

．
∴弦AB所在的直线方程x-

3

y-2=0或x+

3

y-2=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．