题目内容
函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．
①已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m2-5m+21）+f（m2-8m）＜0恒成立，则3＜m＜3.5．
②若函数y=f（x）为R上的“中心函数”，则y=
为R上的“中心函数”．
③函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），则F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{an}是公差为
的等差数列．若
f（an）=7π，则
=
．
其中你认为是正确的所有命题的序号是 ．
①已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m2-5m+21）+f（m2-8m）＜0恒成立，则3＜m＜3.5．
②若函数y=f（x）为R上的“中心函数”，则y=
| 1 |
| f(x) |
③函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），则F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{an}是公差为
| π |
| 8 |
| 7 |
 |
| n=1 |
| [f(a4)] |
| a1a7 |
| 64 |
| 5 |
其中你认为是正确的所有命题的序号是
考点：函数单调性的性质
专题：计算题,新定义
分析：①根据题意判断出f（x）为奇函数，且为增函数对原不等式变形后利用单调性求得m的范围．
②先假设结论成立并设出对称点来，把对称点代入求得结论不成立．
③利用定义法判断出函数的奇偶性．
④根据已知条件表达出若
f（an）=7π，利用等差中项的性质和两角和公式对其化简可求得a4，进而利用等差数列的性质求出a1和a7，分别代入判断结论是否正确．
②先假设结论成立并设出对称点来，把对称点代入求得结论不成立．
③利用定义法判断出函数的奇偶性．
④根据已知条件表达出若
| 7 |
|
| n=1 |
解答：
解：①函数y=f（x）的图象由函数y=f（x-1）向左平移1个单位获得，且点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，
∴（0，0）点为函数y=f（x）的中心点，即关于原点对称，
∴函数y=f（x）为奇函数，
∵f（m2-5m+21）+f（m2-8m）＜0
∴f（m2-5m+21）＜-f（m2-8m）
∴f（m2-5m+21）＜f（-m2+8m）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2-5m+21＜-m2+8m，即2m2-13m+21＜0，求得3＜m＜3.5
∴命题①正确．
②假设命题成立，设函数y=f（x）的对称点为（a，b），则
+
=
=
=2b不恒成立，
故假设不成立，命题②不正确．
③∵函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
命题③正确．
④∵
f（an）=7π，数列{an}是公差为
的等差数列
∴f（a7）=2（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）-（cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6+cosa7）
=14a4-[cos（a4-
）+cos（a4+
）+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6]
=14a4-[2cosa4cos
+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6]
=14a4+（3
+1）cosa4=7π
∴a4=
∴f（a4）=π，a1=
-
=
，a7=
+
=
，
∴则
=
=
≠
．
∴命题④不成立．
故正确的命题为①③
故答案为：①③．
∴（0，0）点为函数y=f（x）的中心点，即关于原点对称，
∴函数y=f（x）为奇函数，
∵f（m2-5m+21）+f（m2-8m）＜0
∴f（m2-5m+21）＜-f（m2-8m）
∴f（m2-5m+21）＜f（-m2+8m）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2-5m+21＜-m2+8m，即2m2-13m+21＜0，求得3＜m＜3.5
∴命题①正确．
②假设命题成立，设函数y=f（x）的对称点为（a，b），则
| 1 |
| f(a-x) |
| 1 |
| f(a+x) |
| f(a-x)+f(a+x) |
| f(a-x)•f(a+x) |
| 2b |
| f(a-x)•f(a+x) |
故假设不成立，命题②不正确．
③∵函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
命题③正确．
④∵
| 7 |
|
| n=1 |
| π |
| 8 |
∴f（a7）=2（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）-（cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6+cosa7）
=14a4-[cos（a4-
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
=14a4-[2cosa4cos
| 3π |
| 4 |
=14a4+（3
| 2 |
∴a4=
| π |
| 2 |
∴f（a4）=π，a1=
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
∴则
| [f(a4)] |
| a1a7 |
| π | ||||
|
| 56 |
| 7π |
| 64 |
| 5 |
∴命题④不成立．
故正确的命题为①③
故答案为：①③．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，单调性的应用，三角函数的恒等变换的运用以及等差数列的基本性质．综合性较强，要求学生等综合运用基础知识解决问题的能力．
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