Question

给出下列命题：
①已知线性回归方程

y

=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
②在进制计算中，100_（2）=11_（3）；
③若ξ～N（3，σ²），且P（0≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≥6）=0.1；
④“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是“函数y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤设函数f（x）=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx（x∈[-

π

2

，

π

2

]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4027，
其中正确命题的个数是

 

个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①中，由线性回归方程知，变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位是正确的；
②中，把100_（2），11_（3）都化为十进制即可判定命题②是否正确；
③中，由随机变量ξ服从正态分布N（3，σ²）知曲线的对称轴是μ=3，由P（0≤ξ≤3）求出[3，6]之间的概率，即得要求的概率；
④中，根据积分的几何意义求出a的值，由函数y的最小正周期为4，求出a的值，二者不等，即判定不是充要条件；
⑤中，化简函数f（x），求出最大值M与最小值m的和，即可判定命题是否正确．

解答： 解：对于①，线性回归方程为

y

=3+2x时，当变量x增加2个单位，
其预报值平均增加

y△

=（3+2（x+2））-（3+2x）=4个单位；∴①正确．
对于②，在不同的进制计算中，100_（2）=1×2²+0×2¹+0×2⁰=4，
11_（3）=1×3¹+1×3⁰=4，
∴100_（2）=11_（3）；∴②正确．
对于③，∵ξ～N（3，σ²），∴曲线的对称轴是μ=3，
∴P（3≤ξ≤6）=P（0≤ξ≤3）=0.4，
∴P（ξ≥6）=

1

2

（1-0.4×2）=0.1；∴③正确．
对于④，根据积分的几何意义知，a=

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

，
函数y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax，当函数的最小正周期为4时，T=

2π

|2a|

，∴a=±

π

4

，∴不是充要条件，④错误．
对于⑤，∵函数f（x）=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx=2014-

1

2014x+1

+2014sinx（x∈[-

π

2

，

π

2

]）的最大值为M，最小值为m，
M+m=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=[2014-

1

2014 π 2 +1

+sin

π

2

]+[2014-

1

2014- π 2 +1

+sin（-

π

2

）]=4027，∴⑤正确．
所以，以上正确的命题有4个；
故答案为：4．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了线性回归方程的意义、不同进制的计数运算、正态分布的应用、积分的计算与三角函数的周期性、以及函数的最值问题，是综合性题目．