Question

已知命题p：“?x＞1，x+

1

x-1

≥a”，命题q：“方程x²-ax+2a=0有两个不等实根”，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：别求出命题p，q为真命题时的取值范围，然后利用若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解答： 解：命题p为真命题时：?x＞1，x-1＞0，根据基本不等式，a≤x-1+

1

x-1

+1≤2

(x-1)× 1 x-1

+1=2+1=3（当且仅当x-1=

1

x-1

即x=0时取相等），此时a≤3；
命题q为真命题时，方程x²-ax+2a=0有两个不等实根，则△＞0，即a²-8a＞0，解得a＜0或a＞8；
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴命题p和q一真一假，
p真q假时，有

a≤3 0≤a≤8

，则0≤a≤3，
p假q真时，有

a＞3 a＜0或a＞8

，则a＞8，
∴实数a的取值范围：[0，3]∪（8，+∞）．

点评：本题主要考查复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，比较基础．