Question

20．已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）若$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
• C． $\frac{8}{3}\sqrt{2}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
设直线l为x=my+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得y²-4my-4=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．