Question

10．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R），设g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 令f（x）=g（x）化简得a=$\frac{-2lnx}{x}$，求出右侧函数的单调性和极值，得出a的范围．

解答 解：令f（x）=g（x）得xe^ax=$\frac{1}{x}$，即e^ax=$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴a=$\frac{-2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{-2lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{2lnx-2}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜e时，h′（x）＜0，当x＞e时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=e时，h（x）取得最小值h（e）=-$\frac{2}{e}$，
且当x＞1时，h（x）＜0，
∵f（x）与g（x）的图象有两个交点，
∴a=h（x）有两解，
∴-$\frac{2}{e}$＜a＜0．

点评 本题考查了函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．