题目内容

11．如图，长方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴上，A（4，0），曲线y2=ax（a＞0）经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，若质点落在图中阴影区域的概率是（　　）
A．2B．1C．$\frac{1}{3}$D．$\frac{2}{3}$

分析 首先利用定积分求出阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率公式求解．

解答 解：由题意，阴影部分的面积为${∫}_{0}^{2\sqrt{a}}\frac{{y}^{2}}{a}dy=\frac{1}{3a}{y}^{3}{|}_{0}^{2\sqrt{a}}=\frac{8\sqrt{a}}{3}$，
由几何概型的公式得到质点落在图中阴影区域的概率是$\frac{\frac{8\sqrt{a}}{3}}{4×2\sqrt{a}}=\frac{1}{3}$；
故选C．

点评 本题考查了定积分的运用以及几何概型的概率求法；正确计算阴影部分 面积是前提，利用几何概型的公式求概率是关键．

练习册系列答案
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1．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{|{x}^{2}-4|-2，x＞1}\end{array}\right.$则方程|f（x）-g（x）|=2的实根个数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
2．对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）＞0；③当x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，x1+x2＜0，则称f（x）为“偏对称函数”．
现给出四个函数：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^2}（x≠0）\\ 0（x=0）\end{array}\right.；h（x）=\left\{\begin{array}{l}ln（-x+1）（x≤0）\\ 2x（x＞0）\end{array}\right.；ϕ（x）=-{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$；φ（x）=ex-x-1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为2．
19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则目标函数z=x-y的最小值等于（　　）
A．-1B．-2C．2D．1
6．若$|{\overrightarrow a}|=2，\overrightarrow b=（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}），\overrightarrow a•（{\overrightarrow b-\overrightarrow a}）+2=0$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．
16．△ABC是底边边长为2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，P是以直角顶点C为圆心，半径为1的圆上任意一点，若m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，则n-m的最小值为（　　）
A．4$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$C．2D．4
3．若命题p：已知0＜a＜1，?x＜0，ax＞1，则￢p为（　　）
A．已知a＞1，?x＞0，ax≤1B．$已知0＜a＜1，?{x_0}＜0，{a^{x_0}}≤1$
C．$已知0＜a＜1，?{x_0}≥0，{a^{x_0}}≤1$D．已知a＞1，?x＞0，ax≤1
20．已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）若$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，则△AOB的面积为（　　）
A．$\frac{8}{3}\sqrt{3}$B．$\frac{4}{3}\sqrt{3}$C．$\frac{8}{3}\sqrt{2}$D．$\frac{4}{3}\sqrt{2}$
1．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C的余弦值为$\frac{3\sqrt{11}}{11}$，求BM的长．

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