Question

10．设F为抛物线C：y²=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为3．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论．

解答 解：抛物线C：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
设直线AB：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立抛物线方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消去x，可得$\sqrt{3}$y²-2py-$\sqrt{3}$p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，
由M（-$\frac{p}{2}$，y₁），
则|OM|=$\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$p，
|OB|=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{y}_{2}^{4}}{4{p}^{2}}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9{p}^{4}}{4{p}^{2}}+3{p}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$p，
即有|OB|=3|OM|．
|OB|与|OM|的比为3，
故答案为：3．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，直线与抛物线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．