Question

9．如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若PA=$\sqrt{3}$，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ．

Answer 1

分析 （1）推导出PB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥BC．
（2）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sin θ．

解答 证明：（1）由PA⊥平面ABCD，AB=AD，可得PB=PD，
又BC=CD，PC=PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC=∠PDC．
因为PD⊥DC，所以PB⊥BC．（3分）
因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．
因为AB?平面PAB，所以AB⊥BC．（5分）
解：（2）由BD=BC=CD，AB⊥BC，可得∠ABD=30°，
又已知AB=AD，BD=PA=$\sqrt{3}$，所以AB=1．
如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
所以$\overrightarrow{PD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）．
设平面BDE的法向量n=（x，y，z），（8分）
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}•n=0\\ \overrightarrow{BD}•n=0\end{array}$即$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0\end{array}$取z=-2，得n=（3，-$\sqrt{3}$，-2），（10分）
所以sin θ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×3-\frac{1}{2}×\sqrt{3}+（\sqrt{3}）×-2}{\sqrt{4}•\sqrt{16}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．