Question

已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图2所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥A-OCD的体积；
（3）求二面角A-BC-D的余弦．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明AO⊥CO，由正方形的性质可得AO⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（2）三棱锥A-OCD的体积V=

1

3

S△OBC•OA，可得结论；
（3）由（1）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-BC-D的余弦值．

解答： （1）证明：依题，折后AC=1，AO=CO=

2

2

，∴AC²=AO²+CO²，
∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD；
（2）解：三棱锥A-OCD的体积V=

1

3

S△OBC•OA=

1

3

×

1

4

×

2

2

=

2

24

；
（3）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系

则O（0，0，0），A（0，0，

2

2

），C（

2

2

，0，0），B（0，-

2

2

，0），D（0，

2

2

，0）
∴

OA

=（0，0，

2

2

）是平面BCD的一个法向量，

AC

=（

2

2

，0，-

2

2

），

BC

=（

2

2

，

2

2

，0），
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），可得

2 2 x+ 2 2 y=0 2 2 x- 2 2 z=0

所以可取

n

=（1，-1，1）．
从而cos＜

n

，

OA

＞=

3

3

，
∴二面角A-BC-D的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，解题的关键是分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，属于中档题．