Question

已知向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，1)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）在x∈[0，2]的值域；
（2）若f（x）-t=0至少有两个实数解，求t的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知条件，求出f（x）的表达式，再利用导数的性质能求出f（x）在x∈[0，2]的值域．
（2）f（x）-t=0至少有两个实数解，只需满足

t≥f(- 1 3 ) t≤f(1)

，由此能求出t的取值范围．

解答： 解：（1）∵向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，1)，
∴f(x)=

a

•

b

=x²（1-x）+（x+1）=-x³+x²+x+1，
∴f′（x）=-3x²+2x+1，
由f′（x）=0，解得x1=-

1

3

，x₂=1，
x∈（-

1

3

，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
x∈（-∞，-

1

3

），x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∵f（0）=1，f（1）=2，f（2）=-1，
∴f（x）在x∈[0，2]的值域为[-1，2]．
（2）∵由f′（x）=0，解得x1=-

1

3

，x₂=1，
∴f（x）-t=0至少有两个实数解，
只需满足

t≥f(- 1 3 ) t≤f(1)

，
即

t≥-(- 1 3 )3+(- 1 3 )2+(- 1 3 )+1 t≤-1+1+1+1

，
解得

22

27

≤t≤2，
∴t的取值范围是[

22

27

，2]．

点评：本题借助平面向量数量积的坐标运算，考查函数的值域的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．