Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．
（Ⅰ）若点M在线段AC上，且满足CM=

1

4

CA，求证：EM∥平面FBC；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面EBC；
（Ⅲ）求二面角A-FB-D的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（I）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB，又可得EF∥MN，从而四边形EFNM为平行四边形，所以EM∥FN，最后根据线面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC；
（Ⅱ）先利用线面垂直的性质和勾股定理证出BC⊥AF，EB⊥AF，从而证出AF⊥平面EBC；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，
则MN∥AB．
又∵CM=

1

4

AC，
∴MN=

1

4

AB．
又∵EF∥AB且EF=

1

4

AB，
∴EF∥MN．且EF=MN．
∴四边形EFNM为平行四边形．
∴EM∥FN．
又FN?平面FBC，EM?平面FBC，
∴EM∥平面FBC．
（Ⅱ）∵EF∥AB，
∴EF与AB可确定平面EABF，
∵EA⊥平面ABCD，
∴EA⊥BC．
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，
∴BC⊥平面EABF．
又AF?平面EABF，
∴BC⊥AF．
在四边形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°
设AF∩BE=P，
∵∠PAE+∠PAB=90°，
∴∠PBA+∠PAB=90°
则∠APB=90°，
∴EB⊥AF．
又∵EB∩BC=B，
∴AF⊥平面EBC．
（Ⅲ）以AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，
则B（4，0，0），D（0，4，0），F（1，0，2）．
∴

BD

=(-4，4，0)，

BF

=(1，-4，2)
设平面BDF的法向量为

m

（a，b，c），
则

m • BD =0 m • BF =0

，
解得：

m

=(2，2，-1)．
同理可得，平面AFB的法向量为

n

=（0，1，0），
∴二面角A-FB-D=＜

m

，

n

＞，
∴二面角A-FB-D的余弦值为cos（π-＜

m

，

n

＞）=cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3×1

=

2

3

．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理及线面垂直的性质，考查二面角的求法，考查法向量的应用，是一个综合题目，题目的运算量不大，理解相关定理的内容是解决该类题目的基础．