Question

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性
（2）若当x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法以及函数奇偶性的定义即可得到结论．
（2）根据函数单调性的定义及，进行证明．

解答： 解：（1）令x=y=0得，则f（0）=0，
再令y=-x得f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
则f（x₂）＜f（x₁），
则f（x）在R上是减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．