Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-2，2]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）试讨论方程g（x）+m=0解的情况．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，代入g（x）式子求解即可．（2）设t=2^x，t∈[

1

4

，4]是单调递增函数，k（t）=-t²+t，t∈[

1

4

，4]，画出函数图象，判断交点个数的情况，就能够判断方程根的个数问题．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，
∵g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-2，2]．
∴g（x）=2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]
（2）
k（

1

4

）=

3

16

，k（

1

2

）=

1

4

，k（4）=-12
方程g（x）+m=0，
当-m＞

1

4

，无解，
当-m=

1

4

，或-12≤-m＜

3

16

，一个解，
当

3

16

≤-m＜

1

4

，两个解．
综上方程g（x）+m=0解的情况如下：
当m＜-

1

4

，无解，
当m=-

1

4

，或-

3

16

≤m≤12，一个解，
当-

1

4

＜m≤-

3

16

，两个解．

点评：本题综合考查了函数的性质，函数的交点，方程的根的问题，运用图象，单调性解决即可，综合性较大．