Question

3．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，O、M、N分别是B₁D₁、AB₁、AD₁的中点，直线A₁C交平面AB₁D₁于点P．
（Ⅰ）证明：MN∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）证明：①A、P、O、C四点共面；②A、P、O三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：MN∥B₁D₁，即可证明MN∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）①证明AA₁与CC₁共面，再证明P、O、∈平面AA₁C₁C，即可证明A、P、O、C四点共面；
②P是平面AA₁C₁C与平面AB₁D₁的公共点，故根据公理3，P在交线AO上，即可证明A、P、O三点共线．

解答 证明：（Ⅰ）∵M、N分别是AB₁、AD₁的中点，
∴MN∥B₁D₁．（2分）
∵B₁D₁?平面CB₁D₁，MN?平面CB₁D₁，
∴MN∥平面CB₁D₁．（4分）
（Ⅱ）①∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴AA₁∥CC₁，即AA₁与CC₁共面．（5分）
∵A₁C₁?平面AA₁C₁C，O∈A₁C₁，∴O∈平面AA₁C₁C．（6分）
∵A₁C?平面AA₁C₁C，P∈A₁C，∴P∈平面AA₁C₁C．（7分）
∴A、P、O、C∈平面AA₁C₁C，即A、P、O、C四点共面．（8分）
②∵AO是平面AA₁C₁C与平面AB₁D₁的交线，且P是平面AA₁C₁C与平面AB₁D₁的公共点，
故根据公理3，P在交线AO上．即A、P、O三点共线．（11分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查平面的基本性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．