题目内容
8．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），0≤x＜1}\\{1-|x-3|，x≥1}\end{array}\right.$则函数y=f（x）+$\frac{1}{2}$的所有零点之和是（ ）| A． | 1-$\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$-1 | C． | 5-$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$-5 |
分析 根据分段函数和奇函数的性质分别求出每段上的零点，再求其和即可．
解答 解：当x≥1时，
则1-|x-3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\frac{9}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$，
当0≤x＜1时，则log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，
∵f（x）为奇函数，
∴当-1＜x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），则-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
当x≤-1时，f（x）=-1+|x+3|，则-1+|x+3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=-$\frac{7}{2}$或x=-$\frac{5}{2}$，
故所有的零点之和为$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-1-$\frac{7}{2}$-$\frac{5}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
故选：B
点评 本题考查了函数的零点和分段函数以及奇函数的性质，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |
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（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | |||
| Asin（ωx+φ） | 0 | 2 | -2 | 0 |
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
