Question

14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标方程求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设D（1+cost，sint），结合题意得到直线GD与l的斜率相同，求出t的值，

解答 解：（1）由题意知：ρ=2cosθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以ρ²=2ρcosθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，即x²+y²-2x=0，
可化为（x-1）²+y²=1，y∈[0，1]，
可得C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cost，sint），
由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，
∴$\frac{sint-0}{（1+cost）-1}=\sqrt{3}$，解得$tant=\sqrt{3}$，即$t=\frac{π}{3}$，
故D的直角坐标为$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}）$，
即$（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

点评 本题考查了参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，考查直线的斜率问题，是一道中档题、