Question

13．已知F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF₁F₂=30°，求双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析 求此双曲线的渐近线方程即求$\frac{b}{a}$的值，这和求双曲线离心率是一样的思路，只要在直角三角形PF₂F₁中由双曲线定义找到a、b、c间的等式，再利用c²=a²+b²即可得$\frac{b}{a}$的值

解答 解：在Rt△PF₂F₁中，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=2{d}_{2}}\\{{d}_{1}-{d}_{2}=2a}\end{array}\right.$∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=$\frac{2a}{2c}$
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{1}{3}$
∴（$\frac{a}{b}$）²=2
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2}$
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x

点评 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键