Question

（Ⅰ）若x=1是f（x）=tlnx-

x2

1+x

的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：若a₁a₂…a_n=1，a_i∈R⁺，n∈N^*，则

n

i=1

ai2

1+ai

≥

n

2

；
（Ⅲ）证明：若a₁a₂…a_n≥1，λ∈R⁺，a_i∈R⁺，n∈N^*，则

n

i=1

ai2

λ+ai

≥

n

λ+1

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（II）由（I）知，f(x)max=f(1)=-

1

2

，可得

3

4

lnx-

x2

1+x

≤-

1

2

，即

x2

1+x

≥

3

4

lnx+

1

2

，由于a_i＞0，可得

ai2

1+ai

≥

3

4

lnai+

1

2

，再利用“累加求和”和对数的运算性质即可得出；
（III）证法1：先证

x2

λ+x

≥

2λ+1

(λ+1)2

lnx+

1

λ+1

，令g(x)=

x2

λ+x

-

2λ+1

(λ+1)2

lnx．(x＞0)．利用导数研究其单调性极值与最值，再利用“累加求和”和对数的运算性质即可得出；
证法2：由柯西不等式与均值不等式及其性质即可证明．

解答： 解：（I）f′（x）=

t

x

-

x2+2x

(1+x)2

，（x＞0）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f′(1)=t-

3

4

=0，
∴t=

3

4

，
∴f′(x)=

3

4x

-

x2+2x

(1+x)2

=

-4x3-5x2+6x+3

4x(1+x)2

=

(1-x)(4x2+9x+3)

4x(1+x)2

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
故单增区间为（0，1），单减区间为（1，+∞）．
（II）由（I）知，f(x)max=f(1)=-

1

2

，
∴

3

4

lnx-

x2

1+x

≤-

1

2

，
∴

x2

1+x

≥

3

4

lnx+

1

2

，
∵a_i＞0，∴

ai2

1+ai

≥

3

4

lnai+

1

2

，
∴

n

i=1

ai2

1+ai

•≥

3

4

n

i=1

lnai+

n

2

=

3

4

ln(a1a2…an)+

n

2

=

n

2

；
（III）证法1：先证

x2

λ+x

≥

2λ+1

(λ+1)2

lnx+

1

λ+1

，
令g(x)=

x2

λ+x

-

2λ+1

(λ+1)2

lnx．(x＞0)
∵g′(x)=

2x(λ+x)-x2

(λ+x)2

-

2λ+1

(λ+1)2x

=

x2+2λx

(λ+x)2

-

2λ+1

(λ+1)2x

= (1+λ)2x3+(2λ3+4λ2-1)x2-(4λ2+2λ)x-λ2(2λ+1) (λ+x)2(1+λ)2x = (x-1)[(λ+1)2x2+(2λ3+5λ2+2λ)x+(2λ3+λ2)] x(λ+x)2(1+λ)2 =0⇒x=1，

当0＜x＜1时，g′（x）＜0；x＞1时，g′（x）＞0．
∴g(x)min=g(1)=

1

λ+1

，
∴

x2

λ+x

≥

2λ+1

(λ+1)2

lnx+

1

λ+1

，
∵a_i＞0，∴

ai2

λ+ai

≥

2λ+1

(λ+1)2

lnai+

1

λ+1

，
∴

n

i=1

•

ai2

λ+ai

≥

2λ+1

(λ+1)2

•

n

i=1

lnai+

n

λ+1

=

2λ+1

(λ+1)2

ln(a1a2…an)+

n

λ+1

≥

2λ+1

(λ+1)2

ln1+

n

λ+1

=

n

λ+1

．
证法2：由柯西不等式得(

n

i=1

ai2

λ+ai

)(

n

i=1

(λ+ai))≥(

n

i=1

ai)2，
令

n

i=1

ai=m，则(

n

i=1

ai2

λ+ai

)≥

m2

nλ+m

，
又由均值不等式知：

n

i=1

ai=m≥n

n	a1a2…an

≥n，
∴

1

m

≤

1

n

，…．
由不等式的性质知(

n

i=1

ai2

λ+ai

)≥

m2

nλ+m

=

1

nλ m2 + 1 m

≥

1

nλ n2 + 1 n

=

n

λ+1

．即证．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、“累加求和”和对数的运算性质、柯西不等式与均值不等式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．