Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

8

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，列出关于等差数列{a_n}的首项与公差的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，利用裂项法求和，从而可求得结论．

解答： 解：（1）由题意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得

a1=6 d=4

或

a1=14 d=0

(舍去)，
∴a_n=4n+2；
（2）

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

3

8

-

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∴Tn＜

3

8

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出裂项法求和的考查，属于中档题．