Question

正项数列{a_n}满足f（a_n）=

2

2-an

（a_n≠2），且{a_n}的前n项和S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]²．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n与S_n的关系求得a_n-a_n-1=2，由等差数列的定义可得数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，利用错位相减法求得数列的和．

解答： （Ⅰ）证明：∵f（a_n）=

2

2-an

（a_n≠2），S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]²．
∴S_n=

1

4

[3-（2-a_n）]²⁼

1

4

(an+1)2．
当n=1时，由a₁=

1

4

(a1+1)2，得a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，
由a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（

a

2 n

-

a

2 n-1

+2a_n-2a_n-1），
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴当n≥2时，由题意a_n＞0，则a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，
∴b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

，
两式作差得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

-

1

2

=2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

-

1

2

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题主要考查等差数列的定义及数列求和等知识，考查学生的运算能力，属中档题．