Question

已知双曲线

x2

4

-y²=1，求过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设存在，两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后联立直线与曲线方程进行检验．

解答： 解：假设存在，两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
所以

x 2 1

4

-

y

2 1

=1，

x 2 2

4

-

y

2 2

=1，两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又

x1+x2

2

=3，

y1+y2

2

=-1，∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，
所以直线的方程为y+1=-

3

4

（x-3），即3x+4y-5=0．
由

3x+4y-5=0 x2 4 -y2=1

得：5x²-30x+41=0，
∴△=30²-20×41＞0，
∴直线3x+4y-5=0与双曲线

x2

4

-y²=1有两个交点，
∴MN所在直线的方程是3x+4y-5=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．