Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=3ⁿ-n，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：利用递推关系一步步地把通项用首项和关于n的表达式表示出来，即可求得a_n．

解答： 解：由题a₁=1，a_n+1-a_n=3ⁿ-n，
得，a_n=a_n-1+3^n-1-（n-1）=a_n-2+3^n-2+3^n-1-（n-1）-（n-2）
=a_n-3+2^n-3+3^n-2+3^n-1-（n-1）-（n-2）-（n-3）=…=a₁+3¹+3²+…+3^n-1-（n-1）-（n-2）-（n-3）-…-1
=

3(1-3n-1)

1-3

-

(n-1)(n-1+1)

2

+1
=

1

2

×3ⁿ-

n2-n

2

-

1

2

．
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

n2-n

2

-

1

2

．

点评：本题是对递推关系式和等比数列求和公式的综合考查．基本方法与基本知识的考查．