Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的离心率为e₂．
（1）求证：

1

e12

+

1

e22

=1；      
（2）求e₁+e₂的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的离心率为e₂．可得e₁=

1+ b2 a2

，e2=

1+ a2 b2

，
即可得出．
（2）由（1）可得

e

2 1

+

e

2 2

=

e

2 1

e

2 1

≤(

e1+e2

2

)4，化简再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： （1）证明：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的离心率为e₂．
∴e₁=

1+ b2 a2

，e2=

1+ a2 b2

，
∴

1

e12

+

1

e22

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=1．
（2）由（1）可得

e

2 1

+

e

2 2

=

e

2 1

e

2 1

≤(

e1+e2

2

)4，

e

2 1

+

e

2 2

=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥2+2

b2 a2 • a2 b2

=4，当且仅当a=b取等号．
∴

e1+e2

2

≥

2

，
∴e₁+e₂≥2

2

，即最小值为2

2

．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．